SEMANA 11:
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
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La función asociada a la distribución normal está dada por:
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Propiedades de la distribución normal
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La forma de la curva de la distribución depende de sus dos parámetros: la media y la desviación estándar.
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La media indica la posición de la campana, la gráfica se desplaza a lo largo del eje x.
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A mayor desviación la curva será más "plana", dado que la distribución, en este caso, presenta una mayor variabilidad.
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La curva es siimétrica respecto a la media.
Intervalos de una distribución normal
Por su importancia en el análisis estadístico son de interés los intervalos donde el área bajo la curva corresponde a determinados valores de probabilidad
Tipificación de una variable
Es posible expresar cualquier distribución normal como una de la forma unitaria (N(0,1)), la cual se denomina distribución normal tipificada. Para ello se utiliza la expresión:
Una de las ventajas de tipificar una distribución es que se puede medir la desviación de los datos respecto a la media, lo cual permite comparar la posición relativa de los datos.
La distribución tipificada se aplica en estadística inferencial para determinar intervalos de confianza para la media de una población, usualmente se utiliza un nivel de confianza del 95% para el cual Z = 1.96.
ejemplo 01
Con los datos dados, hallar la distribucion normal
Norma Estandarizada
Primero sacamos los datos dados
Luego utilizamos la formula:
Utilizamos la tabla
Distribución Binomial
Llamamos experiencia aleatoria dicotómica a aquella que sólo puede tener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre de éxito, además representaremos como p = p(A) y q = 1-p=p(A').
A la función de probabilidad de una variable aleatoria X resultado de contar el número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p la llamamos distribución binomial y la representamos por
B (n, p)
Para esta distribución se verifica que, la variable X puede tomar los valores:
0, 1, 2, ... , n
y que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad:
ejemplo 01
primero sacamos los datos que nos dan:
Luego utilizamos la siguiente formula:
Hallamos el coeficiente binomial:
Reemplazamos los valores
Valores de la curva Z dentro de la curva normal
Un concepto asociado a cualquier distribución de probabilidad es el de Función de Distribución. La función de distribución en un punto se define como la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales a él. Así, la función de distribución en el punto "a", que representaremos por F(a), será :
F(a) = P [ X ≤ a].
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La siguiente escena muestra la función de distribución de la variable Z → N( 0 , 1 ) para valores positivo de Z. Desplazando el punto rojo obtienes el valor del área bajo la curva que representa la probabilidad P [ Z ≤ a ]
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Calcula las siguientes probabilidades a partir de la escena y anota los resultados en tu cuaderno:
P [ Z ≤ 0.5]
P [ Z ≤ 1.24]
P[ Z < 2.5 ]
P[ Z < 0 ]
P[ Z ≤ 2.98]
P[ Z ≤ 4]
F( 0.82)
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Existen tablas de la función de distribución de esta variable N(0,1). A continuación se muestra la tabla con sus valores
si quiero calcular P [ Z ≤ 2.43 ], tenemos que buscar 2.4 en las filas y 0.03 en las columnas y vemos que en esa cuadrícula lo que aparece es .9925,
por tanto, P [ Z ≤ 2.43 ] = 0.9925
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P [ Z > a ] con "a " un número positivo
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Aplicando las propiedades de la probabilidad, basta ver que " Z > a" es el suceso complementario a " Z ≤ a ". Por tanto P [Z > a ] = 1 - P [ Z ≤ a ], y esta última la calculamos utilizando las tablas.
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Por ejemplo:
P[ Z > 1.83 ] = 1 - P [ Z ≤ 1.83 ] = 1 - 0.9664 = 0.0336
P [ Z ≥ 0.49 ] = 1 - P [ Z < 0.49 ] =1 - 0.6879 = 0.3121
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P [ Z > - a ]
Aplicando las propiedades de la probabilidad, tenemos que: P [ Z > - a] = 1 - P [ Z ≤ - a ] = 1 - ( 1 - P [ Z < a ] ) = P [ Z < a ].
Luego P [ Z > -a] = P [ Z < a ].
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Ejemplo :
P [ Z ≥ - 1.14] = P [ Z < 1.14] = 0.8729
P [ Z > -3] = P [ Z < 3 ] = 0.9987
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